Помогите найти решение задачи с применением Векторной алгебры.
Даны векторы AB = {2, -3, 6}, AC = {-1, 2, -2}. Найти угол BAC и единичный вектор биссектрисы этого угла.
Ответы
1) Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 2 · (-1) + (-3) · 2 + 6 · (-2) = -2 - 6 - 12 = -20.
Найдем длины векторов:
|a| = √(ax² + ay² + az²) = √(2² + (-3)² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.
|b| = √(bx² + by² + bz²) = √((-1)² + 2² + (-2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.
Найдем угол между векторами:
cos α = a · b
|a||b|
cos α = -20/(7*3) ≈ -0.95238.
α = 162,247 градуса.
2) Определим орт биссектрисы. Известно, что биссектриса делит угол пополам. Если на сторонах АВ и АС треугольника отложить орты (соответственно a и b) и построить на них ромб, то диагональ ромба также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали ромба, равен сумме векторов a и b.
Для нахождения орта a необходимо координаты вектора АВ разделить на его модуль:
a = BA/|BA| = ((2/7); (-3/7); (6/7)).
соответственно b определится как:
b = AC/|AC| = ((-1/3); (2/3); (-2/3)).
Теперь определим их сумму:
a + b = (((2/7)+(-1/3)); ((-3/7)+(2/3))+((6/7)+(-2/3))) =
= ((-1/21); (5/21); (4/21)). Это и есть координаты орта биссектрисы.