Question

Доведіть що при всіх значеннях а>3 вираз а+3/а-3-а-3/а+3+36/а2-9 набуваає тільки додатних значень

Answer 1

Преобразуем исходное выражение, приведя дроби (а + 3) / (а - 3) и (а - 3) / (а + 3) к общему знаменателю и выясним, какие значения принимает преобразованное выражение при а > 3.

(а + 3) / (а - 3) - (а - 3) / (а + 3) + 36 / (а^2 - 9) = (а + 3) * (а + 3) / ((а - 3) * (а + 3)) - (а - 3) * (а - 3) / ((а - 3) * (а + 3)) + 36 / (а^2 - 9) = (а + 3)^2 / (а^2 - 9) - (а - 3)^2 / (а^2 - 9) + 36 / (а^2 - 9) = ((а + 3)^2 - (а - 3)^2) / (а^2 - 9) + 36 / (а^2 - 9) = 12a / (а^2 - 9) + 36 / (а^2 - 9) = (36 + 12a) / (а^2 - 9).

Так как при а > 3 и числитель и знаменатель полученного выражения больше 0, то и исходное выражение положительно при а > 3.