Question

вычислить интеграл верхний интеграл п нижний интеграл п/4 cos² x:2dx​

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \displaystyle \int\limits^{\pi }_{\pi /4}\, \frac{cos^2x}{2}\, dx=\frac{1}{2}\int\limits^{\pi }_{\pi /4}\frac{1+cos2x}{2}\, dx=\frac{1}{4}\int\limits^{\pi }_{\pi /4}\, (1+cos2x\Big)\, dx=\\\\\\=\frac{1}{4}\cdot \Big(x+\frac{1}{2}\, sin2x\Big)\Big|_{\pi /4}^{\pi }=\frac{1}{4}\cdot \Big(\pi +0-\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\Big)=\frac{1}{4}\cdot \Big(\frac{3\pi }{4}-\frac{1}{2}\Big)$

$2)\ \ \displaystyle \int\limits^{\pi }_{\pi /4}\, cos^2\frac{x}{2}\, dx=\int\limits^{\pi }_{\pi /4}\frac{1+cosx}{2}\, dx=\frac{1}{2}\int\limits^{\pi }_{\pi /4}\, \Big(1+cosx\Big)\, dx=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \Big(x+sinx\Big)\Big|_{\pi /4}^{\pi }=\frac{1}{4}\cdot \Big(\pi +0-\frac{\pi }{4}-\frac{\sqrt2}{2}\Big)=\frac{1}{2}\cdot \Big(\frac{3\pi }{4}-\frac{\sqrt2}{2}\Big)$