Question

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13см, а сумма катетов равна 17см. Найти катеты треугольника.

Answer 1

Пусть $x-$ один катет, второй - $(17-x).$ По теореме Пифагора: $x^{2} +(17-x)^2=13^2\Longrightarrow x^{2} +(17-x)^2-13^2=0; x^2+289-34x+x^{2} -169=0; 2x^2+120-34x=0; 2x^2-34x+120=0; a=2;b=-34;c=120;D=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot2\cdot120=1156-960=196; x_{1} =\dfrac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\dfrac{-(-34)-\sqrt{196} }{2\cdot2} =\dfrac{34-14}{4} =\dfrac{20}{4} =5; x_{2} =\dfrac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\dfrac{34+14}{4} =\dfrac{48}{4}=12.$

Сложим корни: $x_{1}+x_{2} =5+12=17.$ Так как сумма корней равна 17, то они являются катетами. Ответ: катеты равны 5 и 12.

При решении квадратного уравнения применялась еще одна формула: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$