Question

Доведіть тотожність .​

Answer 1

Ответ:

$sin^{4} a-cos^{4} a+1=2sin^{2} a\\(sin^{2} a-cos^{2} a)(sin^{2} a+cos^{2} a)+1=2sin^{2} a\\(sin^{2} a-cos^{2} a)*1+1=2sin^{2} a\\sin^{2} a-cos^{2} a+1=2sin^{2} a\\sin^{2} a+(1-cos^{2} a)=2sin^{2} a\\sin^{2} a+sin^{2} a=2sin^{2} a$

Объяснение:

Нужно доказать, что  правая и левая части тождества равны.

Рассмотрим левую часть тождества:  $sin^{4} a-cos^{4} a+1$

Вспомним

$a^{2} -b^{2} =(a-b)(a+b)\\\\a^{4} -b^{4} =(a^{2})^{2} -(b^{2})^{2} =(a^{2} -b^{2})(a^{2} +b^{2})$

Тогда:

$sin^{4} a-cos^{4} a+1=(sin^{2} a-cos^{2} a)(sin^{2} a+cos^{2} a)+1$

Вспомним:

$sin^{2} a+cos^{2} a=1\\1-cos^{2} a=sin^{2} a$

Тогда:

$(sin^{2} a-cos^{2} a)(sin^{2} a+cos^{2} a)+1=(sin^{2} a-cos^{2} a)*1+1=sin^{2} a-cos^{2} a+1=\\\\=sin^{2} a+(1-cos^{2} a)=sin^{2} a+sin^{2} a=2sin^{2} a$

То есть правая часть тождества равна левой. Тождество доказано.