Question

При каких значениях параметра $D$ плоскость $x-2y+2z+D=0$ касается сферы $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=25$ ?

Answer 1

Центр сферы: $M(1;2;-3)$, а радиус сферы $R=5$

Расстояние от точки центра сферы $M(M_x;M_y;M_z)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$d=\dfrac{|A\cdot M_x+B\cdot M_y+C\cdot M_z+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$d=\dfrac{|1\cdot 1+(-2)\cdot 2+2\cdot (-3)+D|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\dfrac{|D-9|}{3}$

• Если d = R(радиус сферы), то плоскость и сфера имеют единственную общую точку.

$\dfrac{|D-9|}{3}=5$

Решив уравнение получаем $D_1=-6$ и $D_2=24$