Question

Помогите пожалуйста решить ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

первый интеграл

разложим его на простейшие дроби

$\displaystyle \int {\bigg (\frac{3}{x+2} -\frac{x}{x^2+x+1} \bigg )=-\int {\frac{x}{x^2+x+1}} \, dx +3\int{\frac{1}{x+2}} \, dx$

теперь первый снова разложим

$\displaystyle -\int {\frac{2x+1}{2(x^2+x+1)} } \, dx+\int {\frac{1}{2(x^2+x+1)} } \, dx +3\int {\frac{1}{x+2} } \, dx$

замена для первого интеграла [u=x²+x+1   du=(2x+1)dx ]

$\displaystyle -\frac{1}{2} \int{\frac{1}{u} } \, du +\frac{1}{2} \int{\frac{1}{x^2+x+1} } \, dx +3ln(x+2)=\\\\=-\frac{ln(u)}{2} +\frac{1}{2} \int {\frac{1}{x^2+x+1} } \, dx +3ln(x+2)$

теперь остался второй интеграл. надо добиться в знаменателе x² +a²

сначала выделим полный квадрат а потом будем выносить за скобки множители

$\displaystyle -\frac{ln(u)}{2} +\frac{1}{2} \int{\frac{1}{(x+1/2)^2+3/4} } \, dx +3ln(x+2)=\left[\begin{array}{ccc}s=x+1/2\\ds=dx\\\end{array}\right] =\\\\=-\frac{ln(u)}{2} +\frac{1}{2} \int {\frac{1}{s^2+(\sqrt{3}/2)^2 } } \, ds +3ln(x+2) =$

$\displaystyle = -\frac{1}{2} ln(u) +\frac{1}{\sqrt{3} } arctg (2s/\sqrt{3} )+3ln(x+2)+C$

теперь сделаем обратную подстановку и получим

$\displaystyle -\frac{1}{2} ln(x^2+x+1) +\frac{1}{\sqrt{3} } arctg \bigg (\frac{2x+1}{\sqrt{3} } \bigg )+3ln(x+2)+C$   - это ответ

второй интеграл

здесь надо просто поделить многочлен на многочлен и тогда получим сумму простых интегралов

$\displaystyle \int {\frac{2x^3-3}{x-2} } \, dx =\int{\bigg (2x^2+4x+8+\frac{13}{x-2}\bigg ) }} } \, dx =\\\\\\=\frac{2x^3}{3} +2x^2+8x +13ln(x-2)+C$