Решите неравенства методом интервалов:
а) (9x - 3x2)(x2 - 9) < 0
б) 3x-10/x-5 ≤ 8
Ответы
Ответ:
Объяснение:
А) (9x - 3x^2)(x^2 - 9) < 0
Разложим на множители:
3x*(3 - x)(x - 3)(x + 3) < 0
Поменяем знаки в скобке (3 - x), при этом вперёд выносим минус:
-3x*(x + 3)(x - 3)(x - 3) < 0
Убираем этот минус, при этом меняется знак неравенства:
3x*(x + 3)(x - 3)^2 > 0
При x = 3 выражение слева равно 0.
Нам это не подходит, поэтому x ≠ 3.
При любом другом x будет (x - 3)^2 > 0, поэтому его можно не учитывать.
На 3 можно разделить, при этом знак неравенства не меняется.
Получаем систему условий:
{ x ≠ 3
{ x*(x + 3) > 0
По методу интервалов у нас есть две точки: -3 и 0.
Решение второго неравенства такое:
x принадлежит (-oo; -3) U (0; +oo)
С учётом первого неравенства
Ответ: x принадлежит (-oo; -3) U (0; 3) U (3; +oo)
Б) (3x - 10)/(x - 5) ≤ 8
Переносим 8 влево и приводим к общему знаменателю.
Цель: оставить справа 0.
Внимание! Просто так умножить 8 на (x - 5) НЕЛЬЗЯ!
(3x - 10)/(x - 5) - 8 ≤ 0
(3x - 10 - 8(x - 5)) / (x - 5) ≤ 0
(3x - 10 - 8x + 40)/(x - 5) ≤ 0
(30 - 5x)/(x - 5) ≤ 0
Поменяем знаки в скобке (30 - 5x) и вынесем 5 за скобки.
При этом поменяется знак неравенства.
5(x - 6)/(x - 5) ≥ 0
По методу интервалов у нас две точки: 5 и 6.
При этом x ≠ 5, но может быть = 6.
Ответ: x принадлежит (-oo; 5) U [6; +oo)