Question

Знайдіть первісну для функції f(x)=sin2xcos6x

Answer 1

Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:

sinx*cosy = 1/2 * (sin(x+y ) + sin (x-y)), тогда

sin2x*cos6x = 0.5*(sin8x+sin(-4x)) = 0.5*(sin8x-sin4x)

Запишем первообразную:

$F(x) = int{0.5(sin8x-sin4x)}, dx = 0.5(int{sin8x}, dx-int{sin4x}, dx) = 0.5(-frac{1}{8}cos8x + frac{1}{4}cos4x) = frac{1}{8}(cos4x-frac{1}{2}cos8x)$ 

Answer 2

$\f(x)=sin2x cos6x\ F(x)=int f(x), dx\ F(x)=int sin2x cos6x, dx\ F(x)=int frac{1}{2}(sin -4x+sin 8x), dx\ F(x)=frac{1}{2} intsin 8x-sin 4x, dx\ F(x)=frac{1}{2} intsin 8x, dx-frac{1}{2}intsin 4x, dx\ t=8x,dt=8, dx\ u=4x,du=4, dx\ F(x)=frac{1}{16} intsin t , dt-frac{1}{8}intsin u, du\ F(x)=-frac{1}{16}cos t+frac{1}{8}cos u+C\ F(x)=-frac{1}{16}cos 8x+frac{1}{8}cos 4x+C$