Question

Помогите, пожалуйста!
Исследовать числовой ряд на сходимость.

Answer 1

Ответ:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{n!\cdot 2^{n}}{n^{n}\cdot n^2}\\\\\\L'Alembert:\ \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{(n+1)!\cdot 2^{n+1}}{(n+1)^{n+1}\cdot (n+1)^2}\cdot \dfrac{n^{n}\cdot n^2}{n!\cdot 2^{n}}=\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}2\cdot \Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{n}=2\cdot \lim\limits_{n \to \infty}\Big(1-\dfrac{1}{n+1}\Big)^{n}=2\cdot \lim\limits_{n \to \infty}\Big(\Big(1-\dfrac{1}{n+1}\Big)^{-(n+1)}\Big)^{\frac{n}{-(n+1)}}=$

$=2\cdot e^{-1}=\dfrac{2}{e}<1\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ sxoditsya$