Question

Помогите, пожалуйста, срочно!
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle r_1=cos\varphi \ \ ,\ \ r_2=2cos\varphi \ \ ,\ \ \ S=\dfrac{1}{2}\int\limits^a_b\, r^2(\varphi )\, d\varphi \\\\S=S_2-S_1=\frac{1}{2}\int\limits^{\pi /2}_{-\pi /2}\, (2\, cos\varphi )^2\, d\varphi -\frac{1}{2}\int\limits^{\pi /2}_{-\pi /2}\, (cos\varphi )^2\, d\varphi=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot 2\int\limits^{\pi /2}_{0}\, (4\, cos^2\varphi -cos^2\varphi )\, d\varphi =\int\limits^{\pi /2}_{0}\, 3\, cos^2\varphi \, d\varphi=3\int\limits^{\pi /2}_{-\pi /2}\, \frac{1+cos2\varphi }{2}\, d\varphi =$

$\displaystyle =\dfrac{3}{2}\int\limits^{\pi /2}_{0}\, (1+cos2\varphi )\, d\varphi=\frac{3}{2}\, \Big(\varphi +\frac{1}{2}\, sin2\varphi \Big)\Big|_0^{\pi /2}=\frac{3}{2}\, \Big(\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\, sin\pi -0\Big)=\frac{3\pi }{4}$