Question

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Answer 1

Ответ:

$\int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, e^{-x}(e^{2x}+1)\, dx=\int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, (e^{x}+e^{-x})\, dx=\int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, e^{x}\, dx+\int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, e^{-x}\, dx=\\\\\\=\lim\limits_{A \to -\infty}\, \int\limits^{0}_{A}\, e^{x}\, dx+\lim\limits_{B \to +\infty}\, \int\limits_{0}^{B}\, e^{x}\, dx+\lim\limits_{C \to -\infty}\, \int\limits^{0}_{C}\, e^{-x}\, dx+\lim\limits_{D \to +\infty}\, \int\limits_{0}^{D}\, e^{-x}\, dx=$

$=\lim\limits_{A \to -\infty}\, e^{x}\Big|_{A}^0+\lim\limits_{B \to +\infty}\, e^{x}\Big|_0^{B}+\lim\limits_{C \to -\infty}\, (-e^{-x})\Big|_{C}^0+\lim\limits_{D \to +\infty}\, (-e^{-x})\Big|_0^{D}=\\\\\\=\lim\limits_{A \to -\infty}\, (1-e^{A})+\lim\limits_{B\to +\infty}\, (e^{B}-1)-\lim\limits_{C \to -\infty}\, (1-e^{-C})-\lim\limits_{D \to +\infty}\, (e^{-D}-1)=\\\\\\=(1-0)+(+\infty -1)-(1-\infty )-(0-1)=+\infty$