Question

Даю много баллов!
Умножение матриц, как найти n степень, если там не цифры, а синусы и косинусы.
​

Answer 1

Ответ:

$\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc}cos(n\alpha)&-sin(n\alpha)\\sin(n\alpha)&cos(n\alpha)\end{array}\right]$

Объяснение:

Решим методом математической индукции.

Докажем, что:

$\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc}cos(n\alpha)&-sin(n\alpha)\\sin(n\alpha)&cos(n\alpha)\end{array}\right]$

База индукции:

$\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]^1=\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]$

Индукционный переход:

$\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]^n*\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]^{n+1}$

$\left[\begin{array}{cc}cos(n\alpha)&-sin(n\alpha)\\sin(n\alpha)&cos(n\alpha)\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos((n+1)\alpha)&-sin((n+1)\alpha)\\sin((n+1)\alpha)&cos((n+1)\alpha)\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cc}cos(n\alpha)&-sin(n\alpha)\\sin(n\alpha)&cos(n\alpha)\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]=$

$=\left[\begin{array}{cc}cos((n\alpha)cos(\alpha)-sin(\alpha)sin(\alpha)&cos((n\alpha)(-sin(\alpha))-sin(n\alpha)cos(\alpha)\\sin((n\alpha)cos(\alpha)+cos(n\alpha)sin(\alpha)&sin(n\alpha)(-sin(\alpha))+cos(n\alpha)cos(\alpha)\end{array}\right]=$

$=\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha+n\alpha)&-sin(n\alpha+\alpha)\\sin(n\alpha+\alpha)&cos(n\alpha+\alpha)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos((n+1)\alpha)&-sin((n+1)\alpha)\\sin((n+1)\alpha)&cos((n+1)\alpha)\end{array}\right]$

Ч.т.д.