Question

Известно, что разность переменных величин z и у пропорциональна величине х, а разность величин х и z пропорциональна величине у. Коэффициент пропорциональности один и тот же и равен положительному целому числу k. Некоторое значение величины z в 5/3 раза больше разности соответствующих значений х и у. Найти числовое значение коэффициента k.

Answer 1

Ответ:

3

Объяснение:

"Разность переменных величин z и у пропорциональна величине х с коэффициентом пропорциональности k" формулой можно записать так:

$(1)\quad z-y=kx$

Аналогично, "разность величин х и z пропорциональна величине у с коэффициентом пропорциональности k" — это

$(2)\quad x-z=ky$

Значение величины z в 5/3 раза больше разности соответствующих значений х и у:

$(3)\quad z=\dfrac53(x-y)$

Нужно найти значение k.

Не будем ничего придумывать, просто начнём подставлять значение z из третьего уравнения в первое и второе.

$\begin{cases}\dfrac53(x-y)-y=kx\\x-\dfrac53(x-y)=ky\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\left(\dfrac53-k\right)x-\dfrac83y=0\\-\dfrac23x+\left(\dfrac53-k\right)y=0\end{cases}$

Домножим первое уравнение системы на (5/3 - k), второе на 8/3, сложим:

$\left(\left(\dfrac53-k\right)^2-\dfrac{16}9\right)x=0$

Так может быть, либо если коэффициент в скобках нулевой, либо если x = 0. Второй случай, по-видимому, запрещён (хоть о таком запрете ничего не написано в условии): легко проверить, что x = y = z = 0 удовлетворяют условию при любом k. Так что найдём, когда обнуляется коэффициент:

$\left(\dfrac53-k\right)^2-\dfrac{16}9=0\\\left(k-\dfrac53\right)^2=\left(\dfrac{4}3\right)^2\\k=\dfrac53\pm\dfrac43$

Из двух возможных значений k целым положительным является только k = 3.