Question

35 баллов !!!!
Хотя бы ход решения
Внутри прямоугольного треугольника ABC (Угол C = 90 градусов) взята точка О так что треугольники OAB,OBC,OAC равновелики. Найти OC,если известно,что OA^2+ OB^2 = A^2(A>0)

Answer 1

Лемма: в треугольнике ABC точка O такая что S(AOB)=S(BOC)=S(AOC) где S-площадь,  есть точка  пересечения медиан.

Доказательство:  пусть O центр тяжести S(CAA')=S(BAA') или S(AOB')+S(COB')+S(COA')=S(AOC')+S(BOC')+S(A'OB) но  S(AOB')=S(COB') и  S(BOC')=S(AOC') то есть  S(AOB')=S(AOC') аналогично  S(COA')=S(COB') то есть  S(AOB)=S(BOC)=S(AOC)

Тогда по свойству медианы

Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин

3(OC^2+OB^2+OA^2) = AB^2+AC^2+BC^2

так как прямоугольный

3(OC^2+A^2)=2AB^2

 учитывая что CO=2CC'/3 и CC'=AC'=AB/2

 тогда OC=2CC'/3=AB/3

3*(OC^2+A^2)=(3OC)^2*2

3OC^2+3A^2=18OC^2

3A^2=15OC^2

OC=A/√5