Question

Пусть A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ · · · ⊇ An ⊇ . . . — невозрастающая последовательность множеств, а B1 ⊆ B2 ⊆
B3 ⊆ · · · ⊆ Bn ⊆ . . . — неубывающая последовательность множеств. Известно, что A1 \ B1 = A9 \ B9.
Докажите, что A2 \ B8 = A5 \ B5

Answer 1

Т.к. $X \subseteq Y \Leftrightarrow \overline{Y}\subseteq \overline{X}\;\;\forall X,Y: X,Y \subseteq {\displaystyle \mathbb {U} }$ , то $\overline{B_j}\subseteq \overline{B_i}\;\;\forall i, j: i,j \in {\displaystyle \mathbb {N} }, i<j$ .

Но тогда $A_k\backslash B_j=A_k\cap\overline{B_j}\subseteq A_l\cap\overline{B_i}=A_l\backslash B_i\;\;\forall i, j: i,j,k,l \in {\displaystyle \mathbb {N} }, i<j, l<k$ .

Значит

1)  $A_2\backslash B_8\subseteq A_1\backslash B_1$ и $A_9\backslash B_9\subseteq A_5\backslash B_5$.

Тогда, с учетом $A_1\backslash B_1= A_9\backslash B_9$, получим $A_2\backslash B_8\subseteq A_1\backslash B_1= A_9\backslash B_9\subseteq A_5\backslash B_5$ .

2) $A_5\backslash B_5\subseteq A_1\backslash B_1$ и $A_9\backslash B_9\subseteq A_2\backslash B_8$.

Тогда, с учетом $A_1\backslash B_1= A_9\backslash B_9$, получим $A_5\backslash B_5\subseteq A_1\backslash B_1= A_9\backslash B_9\subseteq A_2\backslash B_8$.

Получили, что $A_2\backslash B_8\subseteq A_5\backslash B_5$ и $A_5\backslash B_5\subseteq A_2\backslash B_8$ - но это и означает, что $A_5\backslash B_5=A_2\backslash B_8$

Ч.т.д.