Question

Помогите, пожалуйста, срочно!
Вычислить интеграл

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int \frac{x^3+6x^2+9x+6}{(x+1)^2(x^2+2x+2)}\, dx=I\\\\\\\frac{x^3+6x^2+9x+6}{(x+1)^2(x^2+2x+2)}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+2}\\\\\\x^3+6x^2+9x+6=A(x^2+2x+2)+B(x+1)(x^2+2x+2)+(Cx+D)(x+1)^2\\\\\\x=-1:\ \ A=\frac{-1+6-9+6}{1-2+2}=2\\\\x^3\ |\ 1=C+B\ \qquad \qquad \qquad \ \, \quad B+C=1\\x^2\ |\ 6=A+2C+D+3B\qquad \quad 3B+2C+D=4\\x\ \ |\ 9=2A+C+2D+4B\qquad \ \ 4B+C+2D=5\\x^0\ |\ 6=2A+D+2B\qquad \qquad \quad 2B+D=2$

$\left(\begin{array}{cccccc}1&1&0&|\ 1\\3&2&1&|\ 4\\4&1&2&|\ 5\\2&0&1&|\ 2\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1&1&0&|\ \ \ 1\\0&1&-1&|-1\\0&-3&2&|\ \ 1\\0&-2&1&|\ \ 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1&1&0&|\ \ \ 1\\0&1&-1&|-1\\0&0&-1&|\ -2\\0&0&-1&|\ -2\end{array}\right)\\\\\\D=2\ \ ,\ \ \ C=-1+D=1\ \ ,\ \ B=1-C=0$

$\displaystyle I=\int \frac{2}{(x+1)^2}\, dx+\int \frac{x+2}{x^2+2x+2}\, dx=-\frac{2}{x+1}+\int \frac{x+2}{(x+1)^2+1}\, dx=\\\\\\=\Big[\ t=x+1\ ,\ x=t-1\ ,\ dx=dt\ \Big]=-\dfrac{2}{x+1}+\int \frac{t+1}{t^2+1}\, dt=-\frac{2}{x+1}+\\\\\\+\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}+\int \frac{dt}{t^2+1}=-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2}\, ln|t^2+1|+arctg\, t+C=\\\\\\=-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2}\, ln|\, x^2+2x+2\, |+arctg(x+1)+C\ ;$