Question

Решите неравенство |x|≥-x

Answer 1

1-й способ (самый длинный; обычно так решают задачи с модулями в школе).

1-й случай. x≥0⇒|x|=x; неравенство превращается в x≥-x; 2x≥0; x≥0, пересекаем с условием x≥0 и получаем ответ для неотрицательных чисел x≥0.

2-й случай. x<0⇒|x|=-x; неравенство превращается в  -x≥-x; 0≥0  верно для всех x; пересекаем с условием  x<0 и получаем ответ для отрицательных чисел x<0.

Объединяя два случая, получаем ответ: x - любой.

2-й способ. $|x|\ge x\Leftrightarrow \left [ {{x\ge -x} \atop {x\le -(-x)}} \right. \Leftrightarrow \left [ {{2x\ge 0} \atop {0\le 0}} \right.\Leftrightarrow \left [ {{x\ge 0} \atop {x\in R}} \right. \Leftrightarrow x\in R.$

3-й способ. Если x≥0, правая часть неравенства неположительна, а левая всегда неотрицательна. Поэтому для таких  x неравенство выполнено. Если x<0, правая часть положительна, а левая всегда неотрицательна,  поэтому неравенство можно возвести в квадрат:

|x|²≥(-x)²; x²≥x²; 0≥0 - верно. Поэтому все отрицательные x  также входят в ответ.

4-й  способ. Нарисуйте графики функций  y=|x| и y=-x и Вы увидите, что график первой функции не может быть ниже графика второй функции.

5-й способ. Если знать геометрическое определение модуля икс как расстояния от точки с координатой 0 до точки с координатой x, то неравенство становится очевидным.