З точки поза колом проведено січну, яка перетинає коло в точках, відстань між якими 8 см. Найменша відстань від даної точки до кола дорівнює 10 см, а до центра 17. Обчисліть відстані від точок перетину січної з колом до даної точки
Ответы
Решение основано на свойстве секущих окружности:
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.
На основе данных задания находим, что радиус окружности равен 17 - 10 = 7 см.
Если отрезок от заданной точки до центра окружности продлить до окружности, то получим две секущих.
Обозначим неизвестное расстояние за х.
Длина такой секущей равна х + 8.
Аналогичные длины второй секущей равны 10 и 10+2*7 = 24 см.
Теперь на основе их свойства составим равенство.
х*(х + 8) = 10*24.
Получаем квадратное уравнение x² + 8x - 240 = 0.
Ищем дискриминант:
D=8^2-4*1*(-240)=64-4*(-240)=64-(-4*240)=64-(-960)=64+960=1024;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√1024-8)/(2*1)=(32-8)/2=24/2=12;
x_2=(-√1024-8)/(2*1)=(-32-8)/2=-40/2=-20. Отрицательное значение не принимаем.
Ответ: длина отрезка заданной секущей от точки до окружности равна 10 см, а всей секущей 10 + 8 = 18 см.