Question

Точка М(2;5) принадлежат параболе y=-x²+bx+5.Найдите координаты вершины параболы.Заранее спасибо​

Answer 1

Благодаря известной точке М(2,5) мы можем найти значение b в уравнении параболы. Подставим 2 вместо Х и 5 вместо У в уравнение параболы (числа взяты из координат точки М):

5 = –2² + 2b + 5

–4 + 2b = 0

2b = 4

b = 2

Отсюда уравнение параболы имеет вид:

у = –х² + 2х + 5

При х² у нас отрицательное число (–1), значит, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы – её точка максимума, т.е. наибольшее значение, которого она достигает по оси ОУ (ось ординат).

Координаты вершины можно найти двумя способами. Приведём оба.

1. Напрямую через формулу.

Формула координаты Х вершины параболы:

$x = \frac{ - b}{2a}$

У нас –b = –2, a = –1, отсюда:

$x = \frac{ - 2}{ - 1 \times 2} = \frac{ - 2}{ - 2} = 1$

Координату У вершины параболы можно найти подстановкой в формулу параболы (х=1):

у = –1² + 2×1 + 5 = –1 + 2 + 5 = 6.

Отсюда координаты вершины параболы: (1, 6).

2. Через производную

Если Вы умеете находить производную, то этот способ тоже подойдёт: минимум/максимум функции находятся при приравнивании первой производной к нулю.

у = –х² + 2х + 5

Первая производная:

у' = –2х + 2

Приравниваем к нулю:

–2х + 2 = 0

2х = 2

х = 1

Далее, аналогично первому способу, просто подставляем х=1 в формулу параболы:

у = –1² + 2×1 + 5 = –1 + 2 + 5 = 6.

Отсюда координаты вершины параболы: (1, 6).

Ответ: (1, 6).