Question

80 баллов!!
Помогите решить след. примеры:

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1

$\displaystyle y'(x)=(arctg(x))'=\frac{1}{x^2+1} \\\\y''(x)=\bigg (\frac{1}{x^2+1 } \bigg )'=\bigg (\frac{1}{x^2+1 } \bigg )'*(x^2+1)'=-\frac{1}{(x^2+1)^2} *2=-\frac{2}{(x^2+1)^2} \\\\y''(1)=-\frac{2}{(1^2+1)^2} =-\frac{2}{4} =-\frac{1}{2}$

2

$\displaystyle y'(x)=(sin^2(x))' = (sin^2(x))'*(sin(x))'=2sin(x)cos(x)\\y''(x)= \bigg (2sin(x)cos(x)\bigg )'=2(sin(x))'*cosx +2sin(x)*(cos(x))' = \\\\\qquad =2cos(x)*cos(x)+2sin(x)*(-sin(x) = 2(cos^2(x)-sin^2(x)) = 2cos(2x)\\\\y''\bigg (\frac{\pi}{6} \bigg )=2cos \bigg(2*\frac{\pi}{6}\bigg ) =2cos\bigg (\frac{\pi}{3} \bigg )=2*\frac{1}{2} =1$

4

$\displaystyle y'(x)=(ln(3x))' = (ln(3x))'*(3x)'=\frac{1}{3x} *3=\frac{1}{x} \\\\y''(x) = \bigg (\frac{1}{x} \bigg )' = -\frac{1}{x^2} \\\\y''(1) = -\frac{1}{1^2} =-1$

$\displaystyle y'(x) = (sin(2x))' = (sin(2x))' *(2x)'=cos(2x)*2\\\\y''(x) = (2cos(2x)' = -2sin(2x)*2=-4sin(2x)\\\\y''\bigg (\frac{\pi}{4} \bigg )=-4sin\bigg (2*\frac{\pi}{4} \bigg )=-4sin(\pi/2)=-4$

3

первая производная неявно заданной функции по формуле

$\displaystyle y'(x) = -\frac{f'_x(x,y)}{f'_y(x,y)}$

помним, что при нахождении $\displaystyle f'_x(x,y)$   y считаем константой, а при нахождении $\displaystyle f'_y(x,y)$   константой считаем х

$\displaystyle f'_x(x,y)=(x^2-xy+y^2)'=2x-y\\\\f'_y(x,y) = -x+2y$

тогда

$\displaystyle y'=-\frac{2x-y}{2y-x} =\frac{y-2x}{2y-x}$

ну а дальше надо  дифференцировать  у'

это попозже чуток...