Question

исследовать функцию и построить график y=2x-3/x+1
D(y) x э [...
(ПЛАЧУ МНОГО БАЛЛОВ!!!!!)

Answer 1

Объяснение:

$\displaystyle y=\frac{2x-3}{x+1}$

1) ОДЗ: х≠-1 или х∈(-∞; -1)∪(-1; +∞)

2) Четность, нечетность.

$\displaystyle y(-x)=\frac{-2x-3}{-x+1}$

y(-x) ≠ y(x) ≠ -y(x) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3) Нули функции, пересечение с осями координат.

y=0 ⇒

$\displaystyle 2x-3=0;\;\;\;x=1,5$

х=0 ⇒ у=-3

4) Асимптоты.

$\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{2x-3}{x+1}= \infty$

⇒ x=-1 - вертикальная асимптота.

Наклонная: y=kx+b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{2x-3}{(x+1)*x} =0$

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} \frac{2x-3}{x+1}-0= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x}-\frac{3}{x} }{\frac{x}{x}+\frac{1}{x} } =2$

⇒ y=2 - горизонтальня асимптота.

5) Возрастание, убывание.

$\displaystyle y'=\frac{2(x+1)-(2x-3)}{(x+1)^2} =\frac{2x+2-2x+3}{(x+1)^2}=\frac{5}{(x+1)^2}$

y' > 0 ⇒ функция возрастает.

x ≠ -1 (см. рис.)

6) Выпуклость, вогнутость.

$\displaystyle y''=-\frac{2(x+1)}{(x+1)^4} =-\frac{2}{(x+1)^3}$

y''≠ 0;   x ≠ -1 (см. рис)

Вогнутый при х ∈ (-∞; -1)

Выпуклый при х ∈ (-1; +∞)