Question

В трапеции ABCD дано: ВС || AD, BC = 4, CD = 12, уголA = 75° и уголC = 150°. Площадь трапеции равна?​

Answer 1

Из вершины B трапеции опустим на основание AD высоту BE и из вершины C - высоту CK.

Тогда, поскольку угол BCD = 150 градусов, то угол KCD = 150 - 90 = 60 градусов.

Из треугольника KCD имеем

KD = CD * sin(KCD) = 12 * √3 / 2 = 6√3

CK = CD * cos(KCD) = 12 * 1 / 2 = 6

CK = BE = 6

Из треугольника ABE, имеем

tg(BAE) = BE / AE = > ; AE = BE / tg(BAE) = 6 / tg(75) = 6 / tg(45 + 30) = 6 : (tg45 + tg30) / (1 - tg45 * tg30) = 6 : (1 + (1 / √3)) / (1 - (1 / √3)) = 6 : (√3 + 1) / (√3 - 1) = 6 : ((√3 + 1)(√3 + 1)) / ((√3 - 1)(√3 + 1)) = 6 : (3 + 1 + 2√3) / 2 = 6 / (2 + √3)

AD = AE + EK + KD = 6 / (2 + √3) + 4 + 6√3 = (6 + 8 + 4√3 + 12√3 + 18) / (2 + √3) = (32 + 16√3) / (2 + √3) = 16

Площадь трапеции равна

S = ((a + b) / 2) * H

для нашего случая, имеем

S = ((4 + 16) / 2) * 6 = 60

Площадь равна 60