Question

B B. 3.15. Решите способом алгебраического сложения систему уравнение ​

Answer 1

1.

$\left \{ {{x^{2} -3xy+2y^2=0} \atop {x^{2} +y^2=20}} \right.$

$\left \{ {{x^{2}+2y^2=3xy} \atop {x^{2} *(-1)+y^2*(-1)=20*(-1)}} \right.$

$\left \{ {{x^{2} +2y^2=3xy} \atop {-x^{2} -y^2=-20}} \right.$

Сложим:

${x^{2} +2y^2-x^{2} -y^2=3xy-20$

$y^2=3xy-20$

$3xy=y^2+20$

$x=\frac{y^2+20}{3y}$

Подставим  $x=\frac{y^2+20}{3y}$ во второе уравнение $x^{2} +y^2=20$ и получим:

$(\frac{y^2+20}{3y})^2+y^2=20$

$\frac{y^4+40y^2+400}{9y^2}+y^2=20$

$\frac{y^4+40y^2+400}{9y^2}+y^2-20=0$

$\frac{y^4+40y^2+400+9y^4-180y^2}{9y^2}=0$

$\frac{10y^4-140y^2+400}{9y^2}=0$      <=>   $\left \{ {{10y^4-140y^2+400=0} \atop {y\neq 0}} \right.$

Замена:

$y^{2} =t$     $(t> 0)$

$10t^2-140t+400=0$     $<=>$    $t^2-14t+40=0$

                                           $D=196-4*1*40=36=6^2$

                                            $t_1=\frac{14-6}{2}=4$

                                            $t_2=\frac{14+6}{2}=10$

Замена:

$t_1=4$      $=>$     $y^2=4$     =>    $y=б\sqrt{4} =б2$

                                               $y_1=-2;$

                                               $y_2=2.$

$t_2=10$      $=>$     $y^2=10$     =>    $y=б\sqrt{10}$

                                                $y_3=-\sqrt{10} ;$

                                                $y_4=\sqrt{10}$

Находим значения переменной $x$, подставляя значения $y$  в $x=\frac{y^2+20}{3y}$:

при:

$y_1=-2$        =>   $x_1=\frac{(-2)^2+20}{3*(-2)}=\frac{24}{-6}=-4$                                       $x_1=-4$

$y_2=2$          $=>$    $x_2=\frac{2^2+20}{3*2}=\frac{24}{6}=4$                                              $x_2=4$

$y_3=-\sqrt{10}$     =>   $x_3=\frac{(-\sqrt{10} )^2+20}{3*(-\sqrt{10}) }=\frac{10+20}{-3\sqrt{10} }=-\frac{30\sqrt{10} }{3*10} =-\sqrt{10} }$         $x_3=-\sqrt{10}$      

$y_4=\sqrt{10}$       =>    $x_4=\frac{(\sqrt{10} )^2+20}{3*\sqrt{10} }=\frac{10+20}{3\sqrt{10} }=\frac{30\sqrt{10} }{3*10} =\sqrt{10}$                  $x_4=\sqrt{10}$

Ответ:    $(-4;-2)$

              $(4;2)$

             $(-\sqrt{10} ;-\sqrt{10} )$

              $(\sqrt{10} ;\sqrt{10} )$