Question

Помогите с примером на доказательство (Комплексные числа)

Answer 1

$\left(\dfrac{1+i \tan\alpha}{1-i \tan\alpha}\right)^n=\left(\dfrac{\cos\alpha+i \sin\alpha}{\cos\alpha-i \sin\alpha}\right)^n=\left(\dfrac{\cos\alpha+i \sin\alpha}{\cos(-\alpha)+i \sin(-\alpha)}\right)^n=\\ =\left(\dfrac{e^{i \alpha}}{e^{i (-\alpha)}}\right)^n=\dfrac{e^{i n\alpha}}{e^{i n(-\alpha)}}=\dfrac{\cos n\alpha+i \sin n\alpha}{\cos(-n\alpha)+i \sin(-n\alpha)}=\dfrac{\cos n\alpha+i \sin n\alpha}{\cos n\alpha-i \sin n\alpha}=\\ =\dfrac{1+i \tan n\alpha}{1-i \tan n\alpha}$

Ч.т.д.