Question

Помогите с примером(Комплексные числа)

Answer 1

$2cos t=e^{i t}+e^{-it}\Rightarrow x^2-2\lambda x \cos\alpha+\lambda^2=x^2-\lambda x (e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})+\\ +\lambda^2\cdot \underbrace{(e^{i\alpha}\cdot e^{-i\alpha})}_1=(x-\lambda e^{i\alpha})(x-\lambda e^{-i\alpha})$

$2sint=i(e^{-it}-e^{it})\Rightarrow f(x)=\\ =\dfrac{1}{2}i\left(x^n(e^{-i\alpha}-e^{i\alpha})-\lambda^{n-1}x(e^{-in\alpha}-e^{in\alpha})+\lambda^n(e^{-i(n-1)\alpha}-e^{i(n-1)\alpha}) \right)$

Но тогда

1)

$f(\lambda e^{i\alpha})=\\ =\dfrac{1}{2}i\left(\lambda^n e^{in\alpha}(e^{-i\alpha}-e^{i\alpha})-\lambda^{n} e^{i\alpha}(e^{-in\alpha}-e^{in\alpha})+\lambda^n(e^{-i(n-1)\alpha}-e^{i(n-1)\alpha}) \right)=\\ =\dfrac{1}{2}i\lambda^n\left( e^{i(n-1)\alpha}-e^{i(n+1)\alpha}-e^{-i(n-1)\alpha}+e^{i(n+1)\alpha}+e^{-i(n-1)\alpha}-e^{i(n-1)\alpha} \right)=0$ ,

Т.е. $\lambda e^{i\alpha}$ является нулем многочлена $f(x)$ .

2)

$f(\lambda e^{-i\alpha})=\\ =\dfrac{1}{2}i\left(\lambda^n e^{-in\alpha}(e^{-i\alpha}-e^{i\alpha})-\lambda^{n} e^{-i\alpha}(e^{-in\alpha}-e^{in\alpha})+\lambda^n(e^{-i(n-1)\alpha}-e^{i(n-1)\alpha}) \right)=\\ =\dfrac{1}{2}i\lambda^n\left( e^{-i(n+1)\alpha}-e^{-i(n-1)\alpha}-e^{-i(n+1)\alpha}+e^{i(n-1)\alpha}+e^{-i(n-1)\alpha}-e^{i(n-1)\alpha} \right)=\\ =0$

Т.е. $\lambda e^{-i\alpha}$ является нулем многочлена $f(x)$ .

Но это и означает делимость многочлена $f(x)$ на произведение $(x-\lambda e^{i\alpha})(x-\lambda e^{-i\alpha})$, т.е. на $x^2-2\lambda x \cos\alpha+\lambda^2$

Ч.т.д.