Question

Уравнение
x²yy''=(y-xy')²

Answer 1

$x^2yy''=(y-xy')^2$

Замена: $y'=yz$

$\Rightarrow y''=y'z+yz'=yz\cdot z+yz'=yz^2+yz'$

Подставляем в исходное уравнение:

$x^2y(yz^2+yz')=(y-xyz)^2$

$x^2y^2z^2+x^2y^2z'=y^2-2xy^2z+x^2y^2z^2$

$x^2y^2z'=y^2-2xy^2z$

Заметим, что $y=0$ - решение, так как обращает исходное уравнение в верное равенство. Если $y\neq 0$, то разделим обе части уравнения на $y^2$:

$x^2z'=1-2xz$

$x^2z'+2xz=1$

$z'+\dfrac{2}{x}\cdot z=\dfrac{1}{x^2}$

Замена: $z=uv$

$z'=u'v+uv'$

Подставляем в уравнение:

$u'v+uv'+\dfrac{2}{x}\cdot uv=\dfrac{1}{x^2}$

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна нулю. Тогда:

$u'v+\dfrac{2}{x}\cdot uv=0$

$u'+\dfrac{2}{x}\cdot u=0$

$u'=-\dfrac{2u}{x}$

$\dfrac{du}{dx} =-\dfrac{2u}{x}$

$\dfrac{du}{u} =-\dfrac{2dx}{x}$

$\int\dfrac{du}{u} =-\int\dfrac{2dx}{x}$

$\ln |u| =-2\ln|x|$

$u=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$

Тогда второе слагаемое левой части равно правой части уравнения:

$uv'=\dfrac{1}{x^2}$

$\dfrac{1}{x^2}\cdot v'=\dfrac{1}{x^2}$

$v'=1$

$\dfrac{dv}{dx} =1$

$dv=dx$

$\int dv=\int dx$

$v=x+C_1$

Значит:

$z=uv=\dfrac{1}{x^2}\cdot (x+C_1)=\dfrac{1}{x} +\dfrac{C_1}{x^2}$

Далее получим:

$y'=yz=y\left(\dfrac{1}{x} +\dfrac{C_1}{x^2}\right)$

$\dfrac{dy}{dx} =y\left(\dfrac{1}{x} +\dfrac{C_1}{x^2}\right)$

$\dfrac{dy}{y} =\left(\dfrac{1}{x} +\dfrac{C_1}{x^2}\right)dx$

$\int \dfrac{dy}{y} =\int \left(\dfrac{1}{x} +\dfrac{C_1}{x^2}\right)dx$

$\ln |y| =\ln|x|-\dfrac{C_1}{x} +\ln C_2$

$\ln |y| -\ln|x|-\ln C_2=-\dfrac{C_1}{x}$

$\ln \dfrac{y}{C_2x} =-\dfrac{C_1}{x}$

$\dfrac{y}{C_2x} =e^{-\frac{C_1}{x} }$

$y =C_2xe^{-\frac{C_1}{x} }$

Заметим, что частное решение $y=0$, отмеченное ранее, получается при $C_2=0$.

Ответ: $y =C_2xe^{-\frac{C_1}{x} }$