Question

Решить уравнение
$2x+1+\sin({\rm arc tg}\, x)+\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}=0$

Answer 1

Ответ:

$x=-\dfrac{1}{2}$

Объяснение:

$|arctgx|<\dfrac{\pi}{2}$

Заметим, что если $|t|<\dfrac{\pi}{2}$, то

$sint=[cost>0]=\dfrac{tgt}{\frac{1}{cost}}=\dfrac{tgt}{\sqrt{\frac{1}{cos^2t}}}=\dfrac{tgt}{\sqrt{1+tg^2t}}$

Значит, $sin(arctg x)=\dfrac{tg(arctg x)}{\sqrt{1+tg^2(arctg x)}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

Уравнение перепишем в виде:

$x+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=-\left(x+1+\dfrac{x+1}{\sqrt{1+(x+1)^2}}\right)$ ,

или, введя функцию $f(x)=x+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$,

$f(x)=-f(x+1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$.

Исследуем функцию $f(x)$. Заметим:

$f(-x)=-x+\dfrac{-x}{\sqrt{1+(-x)^2}}=-\left(x+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)=-f(x)$, т.е. $(1)$ равносильно

$f(x)=f(-x-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

Также отметим, что $f'(x)=1+\dfrac{\sqrt{1+x^2}-x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}=1+\dfrac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}>0$, т.е. функция монотонно возрастает.

Но тогда $(2)$ равносильно

$x=-x-1\\ x=-\dfrac{1}{2}$