Question

lim x-0
tgx-sinx/x^3
ответ 1/2
помогите,пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{tgx-sinx}{x^3}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{sinx}{cosx}-sinx}{x^3}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{sinx-sinx\cdot cosx}{cosx\cdot x^3}=\\\\\\=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{sinx\cdot (1-cosx)}{x^3\cdot cosx}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{sinx\cdot 2sin^2\frac{x}{2}}{x^3\cdot cosx}=$

$=\Big[\ \ sinx\sim x\ \ ,\ \ sin\frac{x}{2}\sim \frac{x}{2}\ \ ,\ esli\ \ x\to 0\ \Big]=\\\\=\lim\limits_{x \to 0}\, \dfrac{x\cdot 2\cdot \dfrac{x^2}{4}}{x^3\cdot cosx}=\lim\limits_{x \to 0}\, \dfrac{x^3}{2x^3\cdot cosx}=\lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{1}{2\cdot cosx}=\Big[\ cos\, 0=1\ \Big]=\dfrac{1}{2}$