Question

Логарифмическая функция
помогите пожалуйста со 2 столбиком

Answer 1

$1.~ a)~ 2log_3frac{1}{27}+6^{log_672-log_62}=2log_33^{-3}+6^{log_6frac{72}{2}}=2cdot(-3)underbrace{log_33}_{1}+\ \ +6^{log_66^2}=-6+6^2=30\ ~~~~b)~ 3lg 5+lg 8=lg5^3+lg 8=lg125+lg8=lgleft(125cdot8right)=lg10^3=3$

2. a) ОДЗ: под логарифмическое выражение должно принимать положительное значение.

$x^2-3x>0~~Leftrightarrow~~ x in (-infty;0)cup(3;+infty).$

$log_{0.1}left(x^2-3xright)=log_{0.1}0.1^{-1}\ x^2-3x=0.1^{-1}\ x^2-3x=10\ x^2-3x-10=0$

По теореме Виета $x_1=-2; \ x_2=5$

Ответ: -2 и 5.

б) ОДЗ: $displaystyle left { {{-x >0} atop {x+2>0}} right. ;~~Leftrightarrow~~left { {{x<0} atop {x>-2}} right. ~~Leftrightarrow~~ -2<x<0$

$log_5(-x)^2=log_5(x+2)\ x^2-x-2=0$

По теореме Виета:

$x_1=-1$

$x_2=2$ — не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

3) ОДЗ: под логарифмические выражения принимают положительные значения:

 $displaystyle left { {{3x-1>0} atop {3-x>0}} right. ~~Leftrightarrow~~left { {{x>frac{1}{3}} atop {x<3}} right. ~~Leftrightarrow~~ frac{1}{3}<x<3$

Так как основание 0 < 0.2 < 1, функция убывающая, то знак неравенства меняется на противоположный.

$3x-1leqslant3-x\ 4xleqslant 4\ xleqslant 1$

С учетом ОДЗ, ответ: $x in left(frac{1}{3};1right]$

б) ОДЗ: $displaystyle left { {{x^2-1>0} atop {x+1>0}} right. ~~Leftrightarrow~~left { {{x in (-infty;-1)cup(1;+infty)} atop {x>-1}} right. ~~Leftrightarrow~~ x>1$

$log_3(x^2-1)<log_3(x+1)+log_33\ log_3(x^2-1)<log_3(3(x+1))$

Так как основание 3>1, функция возрастающая, то знак неравенства сохраняется.

$x^2-1<3(x+1)\ \ x^2-1<3x+3\ x^2-3x-4<0\ x^2+x-4x-4<0\ x(x+1)-4(x+1)<0\ (x+1)(x-4)<0~~Leftrightarrow~~ -1<x<4$

С учетом ОДЗ, ответ: $x in left(1;4right)$

4. $displaystyle left { {{log_2(x-y)=3} atop {4^{log_2sqrt{x+y}}}=10} right. ~~Leftrightarrow~~ left { {{log_2(x-y)=log_22^3} atop {2^{log_2(x+y)}=10}} right. ~~Leftrightarrow~~left { {{x-y=8} atop {x+y=10}} right.$

Сложим уравнения, получим 2x=18 откуда х=9. Тогда у = 10-х=1

Ответ: (9;1).