Question

Решить уравнение: $(x^{2} +x+1)+(x^{2} +2x+3)+(x^{2} +3x+5)+...+(x^{2} +20x+39)=4500.$

Answer 1

Объяснение:

(x²+x+1)+(x²+x+3)+(x²+3x+5)+...+(x²+20x+39)=4500

20x²+210x+400=4500

2x²+21x-410=0

D=441+3280=3721

x=(-21±61)/4

1) x=10

2) x=-20,5

Answer 2

$(x^2+x+1)+(x^2+2x+3)+(x^2+3x+5)+\ldots+(x^2+20x+39)=4500$

По вторым коэффициентам в скобках заметим, что число скобок в левой части равно 20.

Перепишем уравнение в виде:

$(x^2+x^2+\ldots+x^2)+(x+2x+\ldots+20x)+(1+3+\ldots+39)=4500$

Пользуясь тем, что в первой скобке 20 слагаемых, упростим:

$20x^2+(1+2+\ldots+20)x+(1+3+\ldots+39)=4500$

Значения сумм в скобках определим как сумму первых 20 членов арифметической прогрессии с известным первым и последним членом:

$20x^2+\dfrac{1+20}{2}\cdot20\cdot x+\dfrac{1+39}{2}\cdot20=4500$

$20x^2+210x+400=4500$

$2x^2+21x+40=450$

$2x^2+21x-410=0$

$D=21^2-4\cdot2\cdot(-410)=3721=61^2$

$x_1=\dfrac{-21-61 }{2\cdot2} =-20.5$

$x_2=\dfrac{-21+61 }{2\cdot2} =10$

Ответ: -20.5 и 10