Question

СПАСИТЕ!!!!!!ОЧЕНЬ НУЖНА ПОМОЩЬ!!!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

здесь у нас знакочередующиеся числовые ряды.

будем их исследовать по признаку Лейбница. а для уточнения характера сходимости добавим исследование по признакам сходимости. (если возможно, предварительно проведем элементарные преобразования)

1)

$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n2^n}{n^2(3^n+1)}$

рассмотрим первые три члена ряда

-1/2;  1/10;  -2/63

• по первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

$\displaystyle \frac{1}{2} > \frac{1}{10} >\frac{2}{63}$

• по второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0. для нашего ряда это условие выполняется

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{3^n*n^2+n^2} =0$

оба признака выполняются. значит ряд сходится

чтобы говорить об абсолютной или условной сходимости, надо исследовать ряд по одному из признаков сходимости рядов (мы воспользуемся радикальным признаком Коши)

сначала упростим

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (3^n*n^2+n^2)=3^n*n^2$

тогда

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{3^n*n^2} =\frac{\bigg (\displaystyle\frac{2}{3}\bigg )^n }{n^2}$

применим Коши

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{\displaystyle \bigg (\frac{2}{3 } \bigg )^n}{n^2} } =\frac{2/3}{1} = \frac{2}{3} <1$

если полученное значение меньше 1, то ряд сходится.

ответ исходный ряд сходится абсолютно

2) сразу исследуем на сходимость по Лейбницу

• по первому признаку. возьмем первые три члена ряда и сравним их по модулю

$\displaystyle \frac{1}{4} <\frac{1}{2} >\frac{27}{24}$

условие не выполняется - ряд расходится

ответ исходный ряд расходится

3) сначала элементарные преобразования

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} sin\bigg (\frac{1}{n} \bigg ) = \frac{1}{n}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n^2+2n}$

по Лейбницу

• первый признак выполняется

$\displaystyle \frac{1}{7} >\frac{1}{24} >\frac{1}{51}$

• второй признак выполняется

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n^2+2n} =0$

теперь применим сравнительный признак сходимости рядов

упрощение   $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (5n^2+2n) = 5n^2$

тогда     $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$  , это обобщённый гармонический ряд где α >1 - он сходится, значит и наш ряд сходится

ответ  исходный ряд сходится абсолютно

4) исследуем по Лейбницу

• по первому признаку для нашего ряда это условие не выполняется

$\displaystyle \frac{1}{ln(5)} < \frac{1}{ln(6)} <\frac{1}{ln(7)}$

ответ исходный ряд расходится