Question

Добрый день. Помогите пожалуйста доказать с помощью математической индукции. Спасибо.

$(n+1)(n+2)...(n+n)=2^{n} *1*3*5*...*(2n-1)$

Answer 1

Сначала докажем формулу без индукции. Левая часть

$(n+1)(n+2)\ldots (n+n)=\frac{(2n)!}{n!}$

Правая часть

$2^n\cdot (2n-1)!!=\frac{2^n\cdot (2n)!}{(2n)!!}=\frac{2^n\cdot (2n)!}{2^n\cdot n!}=\frac{(2n)!}{n!}.$

Замечание. $n!=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1; (2n)!!=2n\cdot (2n-2)\cdot\ldots\cdot 4\cdot 2$

$(2n-1)!!=(2n-1)\cdot (2n-2)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 1.$

Теперь по индукции. При n=1 формула верна: (1+1)=2 ·1; 2=2. Пусть при некотором n $(n+1)(n+2)\ldots (n+n)=2^n\cdot 1\cdot 3\cdot (2n-1);$ докажем, что

$((n+1)+1)((n+1)+2)\ldots ((n+1)+(n+1))=2^{n+1}\cdot 1\cdot 3\cdot \ldots\cdot (2(n+1)-1),$

то есть $(n+2)(n+3)\ldots 2n\cdot (2n+1)\cdot(2n+2)=2^{n+1}\cdot 1\cdot 3\cdot\ldots (2n-1)\cdot (2n+1).$

Преобразуем левую часть:

$\frac{((n+1)(n+2)\ldots 2n)\cdot (2n+1)\cdot (2n+2)}{n+1}=\frac{2^n\cdot (2n-1)!!\cdot(2n+1)\cdot 2\cdot (n+1)}{n+1}=2^{n+1}\cdot (2n+1)!!.$

Формула доказана.