Question

Решить уравнение
$\frac{\sqrt{10+x}-\sqrt{10-x}}{\sqrt{10+x}+\sqrt{10-x}}=\frac{1}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{x}{6}}$

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\dfrac{\sqrt{10+x}-\sqrt{10-x}}{\sqrt{10+x}+\sqrt{10-x}}=\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{x}{6}}$

При $x=0$:

$\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{10}}{\sqrt{10}+\sqrt{10}}=\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{0}{6}}$

$0=0$, верно.

Тогда $x=0$ является корнем исходного уравнения.

При $x\ne0$:

$\dfrac{\sqrt{10+x}-\sqrt{10-x}}{\sqrt{10+x}+\sqrt{10-x}}=\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{x}{6}},\;\Leftrightarrow\;10-\sqrt{100-x^2}=\dfrac{x}{3}\sqrt[3]{\dfrac{x}{6}}$

Замена: $t=\sqrt[3]{\dfrac{x}{6}},\;\Rightarrow\;x=6t^3$

Получим запись:

$10-\sqrt{100-36t^6}=2t^4\\\sqrt{100-36t^6}=10-2t^4\\100-36t^6=4t^8-40t^4+100\\t^8+9t^6-10t^4=0,\;\Leftrightarrow\;t^4(t^2+10)(t-1)(t+1)=0$

Откуда:

$\left[\begin{array}{c}t=0\\t=1\\t=-1\end{array}\right;$

Обратная замена:

$t=0,\;\Rightarrow\;x=0\\t=1,\;\Rightarrow\;x=6\\t=-1,\;\Rightarrow\;x=-6$

Тогда этот случай дает два корня $x=\pm6$.

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что они подходят.

Итого исходное уравнение имеет корни $x=-6,\;x=0,\;x=6$.

Задание выполнено!