Question

Найти такие m, n (натуральные числа ), что m и n взаимно просты и m/n = 3,(2021)

Answer 1

A=0,(2021); 10000A=2021,(2021)=2021+A; 9999A=2021; A=2021/9999;

3,(2021)=3+A=3+2021/9999=32018/9999; m=32018; n=9999.

Докажем, что m и n взаимно просты.

Для этого достаточно доказать взаимную простоту чисел 2021  и 9999. Применять алгоритм Евклида лень, проще разложить 9999 на простые множители.

9999=3·3·1111=3·3·11·101. Кто сомневается в простоте числа 101, попробуйте поделить его на 2, 3, 5 и 7 (следующий простой потенциальный делитель - это 11, что больше корня из 101; если бы был такой делитель, то был был и делитель 101/11, меньший корня из 101).

У числа 2021 нет делителей 3, 11 или 101, поэтому взаимная простота доказана.

Ответ: m=32018; n=9999