Question

Решите систему уравнений
$\displaystyle\bf\left \{ {{x^5+xy^4=y^{10}+y^6} \atop {x^6+x^2=8y^3+2y}} \right.$

Answer 1

Выделяем сразу решение x=0; y=0. Если же одна из неизвестных отлична от нуля, то и другая также отлична от нуля. Поэтому можно ограничиться случаем x≠0; y≠0. Неизвестно, понадобится ли это, но на всякий случай обратим внимание на то, что из первого уравнения следует, что x>0, а из второго - что y>0.

Поработаем сначала со вторым уравнением.

$((x^2)^3-(2y)^3)+(x^2-2y)=0;\ (x^2-2y)(x^4+2x^2y+4y^2)+(x^2-2y)=0;$

$(x^2-2y)(x^4+2x^2y+4y^2+1)=0;\ x^2-2y=0$

(вторая скобка положительна и в ноль не обращается).

Переходим к первому уравнению:

$((y^2)^5-x^5)+y^4(y^2-x)=0;\ (y^2-x)(y^8+y^6x+y^4x^2+y^2x^3+x^4)+y^4(y^2-x)=0;$

$(y^2-x)(y^8+y^6x+y^4x^2+y^2x^3+x^4+y^4)=0;\ y^2-x=0$

(вторая скобка в ноль не обращается).

Итак, получили систему$\left \{ {{y^2=x} \atop {x^2=2y}} \right.;\ y^4=2y; y=\sqrt[3]{2};\ x=\sqrt[3]{4}.$

Ответ: $(0;0), \ (\sqrt[3]{4};\sqrt[3]{2}).$

Answer 2

Ответ:

$(0;0);(\sqrt[3]4;\sqrt[3]{2})$

Объяснение:

Рассмотрим функцию $f(t)=t^3+t$. $f'(t)=3t^2+1>0$ - то есть $g(t)$ монотонно возрастает.

Но 2ое уравнение системы можно записать в виде $f(x^2)=f(2y)$, что, в силу монотонности $f(x)$ , равносильно $x^2=2y \Leftrightarrow y=\dfrac{x^2}{2}$. Подставив в 1ое уравнение системы, получим

$x^5+\dfrac{x^9}{2^4}=\dfrac{x^{20}}{2^{10}}+\dfrac{x^{12}}{2^{6}}$

$x=0\Rightarrow y=0$

Полагаем $x\neq 0$.

Разделим на $x^{10}$:

$\dfrac{1}{x^5}+\dfrac{1}{2^4\cdot x}=\dfrac{x^{10}}{2^{10}}+\dfrac{x^{2}}{2^{6}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

Из 1ого уравнения системы следует, что

$x \underbrace{(\underbrace{x^4}_{>0}+\underbrace{y^4}_{\geq 0})}_{>0}=\underbrace{y^{10}+y^6}_{\geq 0}\Rightarrow x>0$

Рассмотрим $g(t)=\dfrac{1}{t^5}+\dfrac{1}{2^4\cdot t},t>0$ . $g'(t)=-\dfrac{5}{t^6}-\dfrac{1}{2^4\cdot t^2}<0$ - то есть $g(t)$ монотонно убывает.

Но $(1)$ можно записать в виде $g(x)=g\left(\dfrac{2^2}{x^2}\right)$, что, в силу монотонности $g(t)$ , равносильно $x=\dfrac{2^2}{x^2}\Leftrightarrow 2^2=x^3\Leftrightarrow x=\sqrt[3]4\Rightarrow y=\sqrt[3]{2}$.