Question

3. Докажите, что если в параллелограмме равны высоты, прове-
денные из одной вершины, то этот параллелограмм является ром-
бом.​

Answer 1

Рассмотрим прямоугольные треугольники АН1В и СН2В. Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, выразим углы АВН1 и СВН2:

<ABH1=90-<A, <CBH2=90-<C, но

<A=<C как противоположные углы параллелограмма, следовательно

<ABH1=<CBH2.

Используем один из признаков равенства прямоугольных треугольников: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треуг-ка соответственно равен катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. В нашем случае:

- ВН1=ВН2 по условию;

- углы АВН1 и СВН2 равны как показано выше.

Значит, треуг-ки АН1В и СН2В равны, и АВ=СВ=СЕ=АЕ. Параллелограмм, у которого все стороны равны - ромб. АВСЕ - ромб.