Question

Доказать, что когда а+б+с=0, то а³+б³+с³=3абс

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1-метод

Воспользуемся неравенством :

$a^3+b^3+c^3 \geq 3abc$  оно верно при всех положительных  a ; b ; c   и равенство выполняется только в том случае когда a=b=c

В нашем случае :

$a^3+b^3+c^3=3abc => a=b=c =0$

2-метод

$a^3+b^3+c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3$

$\boxed{a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab}$

$a+b+c=0 \\\\\boxed{a+b=-c}$

$a^3+b^3+c^3=\underbrace {(a+b)}_{-c}(\underbrace{(a+b)^2}}_{c^2}- 3ab )+c^3 \\\\a^3+b^3+c^3=-c(c^2-3ab )+c^3 \\\\ a^3+b^3+c^3=-c^3\!\!\!\!/+3abc +c^3\!\!\!\!/\\\\\boldsymbol {a^3+b^3+c^3= 3abc }$