Question

а) решите уравнение
$\tan(x + \frac{\pi}{4} ) = \sqrt{3}$
б) найдите все корни этого уравнения принадлежащие промежутку [π/4; 3π/2]​

Answer 1

Ответ:

$\frac{13\pi}{12} ; \:\frac{25\pi}{12}$

Пошаговое объяснение:

a)

$\tg(x + \frac{\pi}{4} ) = \sqrt{3} \\ (x + \frac{\pi}{4} ) = \arctg( \sqrt{3} ) + \pi {\cdot}{n} ; \: \: n \in \: Z\\ x + \frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{3}+ \pi {\cdot}{n} ; \: \: n \in \: Z \\ x {=}\frac{\pi}{3}{ -} \frac{\pi}{4}{+} \pi {\cdot}{n} =\frac{4\pi}{12} {- } \frac{3\pi}{12}+ \pi {\cdot}{n} ; \: \: n \in \: Z \\ x = \frac{\pi}{12}+ \pi {\cdot}{n} ; \: \: n \in \: Z$

b) найдем все корни этого уравнения принадлежащие промежутку [π/4; 3π/2]

$\begin{cases} x =\frac{\pi}{12} + \pi {\cdot}{n} ; \: \: n \in \: Z \\x \in [\frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{2}] \end{cases}$

Это равносильно неравенству

$\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{12} {+} \pi {\cdot}{n} \leqslant \frac{3\pi}{2} ; \: \: n \in \: Z \quad \: \: \bigg| - \frac{ \pi}{12} \: \\ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} \leqslant \pi {\cdot}{n} \leqslant \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{12} \quad \bigg| : \pi \\ \frac{1}{4} - \frac{1}{12} \leqslant n \leqslant \frac{3}{2} - \frac{1}{12} \\ \frac{3 - 1}{12} \leqslant n \leqslant \frac{18 - 1}{12} \\ \frac{1}{6} \leqslant n \leqslant \frac{17}{12}$

С учетом того, что

$0 < \tfrac{1}{6} < 1 ; \: \: \: \: 1 < \tfrac{17}{12} < 2; \ \\ \small\frac{1}{6} \leqslant n \leqslant \frac{17}{12} ; \: n \in Z \: < = > \: 1 {\leqslant }n \leqslant2 ; \: n \in Z \\ < = > \: n \in \{1; \:2 \}$

А значит корнями этого уравнения, принадлежащими промежутку [π/4; 3π/2], будут

$x = \frac{\pi}{12}+ \pi {\cdot}{n} ; \: \: n \in \: \{1; \:2 \} \\ x_{1} = \frac{\pi}{12}{+} \pi = \frac{13\pi}{12} \\ x_{2} = \frac{\pi}{12}{+} 2\pi = \frac{25\pi}{12}$