Question

Помогите пожалуйста с заданием
​

Answer 1

Ответ:

$\begin{cases}4{x}^{2} - 8 {x}^{2} y - 3 {y}^{2} < 0 \: \: \: \qquad(1)\\ - 2 {x}^{2} + 8 {x}^{2}y + 8 {y}^{2} < 0 \qquad(2)\end{cases}$

Объяснение:

Допустим, существуют такие х, у, при которых оба многочлена одновременно могут принимать отрицательные значения.

То есть должна выполняться система неравенств (для удобства уравнения пронумерованы 1 и 2)

$\begin{cases}4{x}^{2} - 8 {x}^{2} y - 3 {y}^{2} < 0 \: \: \: \qquad(1)\\ - 2 {x}^{2} + 8 {x}^{2}y + 8 {y}^{2} < 0 \qquad(2)\end{cases}$

Т.к. в предполагаемом случае значение обоих многочленов меньше 0, мы можем их сложить, не потеряв знак неравенства (условно мы складываем и левые части неравенств (1) и (2), и правые, но т.к. справа 0, она остается неизменной)

Получаем:

$\small(4{x}^{2}{ - }8 {x}^{2} y {-} 3 {y}^{2}) + ({-} 2 {x}^{2}{+}8 {x}^{2}y {+ }8 {y}^{2} )< 0{ +} 0 \\ \small \: 4{x}^{2}{ - }8 {x}^{2} y {-} 3 {y}^{2} {-} 2 {x}^{2}{+}8 {x}^{2}y {+ }8 {y}^{2} < 0\\ \small{4{x}^{2}{-} 2 {x}^{2}{ - } \cancel{8 {x}^{2} y} {+} \cancel{8 {x}^{2}y} {+ }8 {y}^{2} {-} 3 {y}^{2} < 0}\\ \: \small (4{ -} 2) {x}^{2} + (8 {- }3) {y}^{2} < 0 \\ 2 {x}^{2} + 5 {y}^{2} < 0$

В результате преобразования мы получили неравенство:

$2 {x}^{2} + 5 {y}^{2} < 0$

Но данное неравенство не имеет решений в множестве действительых чисел, так как квадрат любого числа - это всегда неотрицательное число, т.е.

$\begin{cases}{x}^{2} \geqslant 0 \: \: \forall \: x \in {R}\\ {y}^{2} \geqslant 0 \: \: \forall \: y \in {R} \end{cases} = > \\ { =} {>} \: \qquad2 {x}^{2} + 5{y}^{2} < 0 \: \: < = > \: x, \: y \: \in \cancel{o}$

Следовательно, НЕ существует таких х, у, при которых оба многочлена одновременно могут принимать отрицательные значения.

Ч.Т.Д.