Question

Решите уравнение
$\bf\\x\sqrt{1+x} +\sqrt{3-x} =2\sqrt{x^2+1}$

Answer 1

Угадываем  x=1 ($\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} \ -$ верно). ОДЗ: $x\in[-1;3].$

$x\sqrt{1+x}=2\sqrt{x^2+1}-\sqrt{3-x};\ 2\sqrt{x^2+1}\ge 2;\ \sqrt{3-x}\le 2 \Rightarrow$

правая часть неотрицательна, поэтому левая часть неотрицательна. Поскольку x=-1 не является решением, делаем вывод, что x неотрицателен. Поэтому возведение в квадрат является на  [0;3]  равносильным переходом.

$x^2+x^3=4x^2+4+3-x-4\sqrt{x^2+1}\cdot\sqrt{3-x};$

$4\sqrt{x^2+1}\cdot\sqrt{3-x}=-x^3+3x^2-x+7$

$4\sqrt{-x^3+3x^2-x+3}=-x^3+3x^2-x+7;\ \sqrt{-x^3+3x^2-x+3}=t\ge 0;$

$4t=t^2+4;\ (t-2)^2=0;\ t=2;\ -x^3+3x^2-x+3=4;\ x^3-3x^2+x+1=0;$

$(x-1)^3-2x+2=0;\ (x-1)^3-2(x-1)=0;\ (x-1)((x-1)^2-2)=0;$

$\left [ {{x=1} \atop {x=1\pm \sqrt{2}}} \right. .$

x=1 мы и так уже знали; $x=1-\sqrt{2}<0\Rightarrow$ этот корень мы отбрасываем. Остается рассмотреть $x=1+\sqrt{2}.$  Вроде бы все преобразования были равносильны. Но вдруг мы что-то не заметили или допустили арифметическую ошибку. Поэтому попробуем подставить этот корень в уравнение.

$(1+\sqrt{2})\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2}}-2\sqrt{4+2\sqrt{2}}=$

$=\sqrt[4]{2}(1+\sqrt{2})^{3/2}+\sqrt[4]{2}\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}-2\sqrt{2}\sqrt[4]{2}\sqrt{\sqrt{2}+1}=$

$=\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}+1}\cdot((\sqrt{2}+1)^2+1-2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1))=0\ -$  ура!

Ответ: 1 и $1+\sqrt{2}.$

Замечание. Решение получилось не самое простое. Буду рад, если кто-нибудь придумает более простое решение. Но по любому нужно уметь продираться и через такие выкладки. Кстати, я сначала не заметил замену через t, мне пришлось делать еще одно возведение в квадрат. Получилось уравнение шестой степени, в котором дважды выделялась скобка (x-1), а возникающий многочлен 4-й степени оказался полным квадратом (что, конечно, тоже нужно было увидеть).

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

$\displaystyle\\x\sqrt{1+x} +\sqrt{3-x} =2\sqrt{x^2+1}$

воспользуемся неравенством Коши-Буняковского

$(a_1b_1+a_2b_2)^2\leq (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$

причем равенство только если    $\dfrac{a_1}{b_1} =\dfrac{a_2}{b_2}$

---------------------------------------------------------------------------------------------

$\Big(x\cdot\sqrt{1+x}+1\cdot\sqrt{3-x}\Big)^2\leq \Big(x^2+1^2\Big)\cdot\Big(1+x+3-x\Big)=4\Big(x^2+1\Big)$

$\displaystyle\\x\sqrt{1+x} +\sqrt{3-x} \leq 2\sqrt{x^2+1}$

сравним с исходным уравнением

неравенство превращается в равенство только в случае

$\dfrac{x}{1} =\dfrac{\sqrt{x+1} }{\sqrt{3-x} }$     =>  $0<x<3$

возводи в квадрат обе части

$x^3-3x^2+x+1=0$

первый корень легко угадывается  $x=1$

$(x-1)(x^2-2x-1)=0\\\\x^2-2x-1=0\\\\x=1\pm\sqrt{2}$

$x=1-\sqrt{2}$  не принадлежит промежутку (0; 3)

Ответ: $1;1+\sqrt{2}$