Question

Как решить такой интеграл? (с объяснением)

Answer 1

Объяснение:

Анализируем подынтегральную функцию.

$\int \frac{dx}{2x + 5}$

Здесь у нас дробь,

$\frac{1}{2x + 5}$

в знаменателе которой - линейная функция 2х+5.

В таблице интегралов и наиболее похожая вещь:

$\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C$

Подводим эту линейную функцию под знак дифференциала:

$\small\int \frac{dx}{2x + 5} = \int \frac{ \tfrac{1}{2} \cdot2 dx}{2x + 5} = \small \frac{1}{2} { \int} \frac{2 dx}{2x + 5} = \\ = \frac{1}{2}{ \int }\frac{ d(2x)}{2x + 5} = \frac{1}{2} {\int} \frac{ d(2x + 5)}{2x + 5} = ...$

Далее используем табличную формулу, где у нас вместо х - выражение 2х+5:

$...= \frac{1}{2} {\int} \frac{ d(2x + 5)}{2x + 5} = \frac{1}{2} \cdot \ln |2x + 5| + C$

Получаем ответ:

$\int \frac{dx}{2x + 5} = \frac{1}{2} \ln |2x + 5| + C$