Question

Помогите, пожалуйста, исследовать на экстремум функцию

z=3x+3y-x^2- xy-y^2+6

Answer 1

$\z=3x+3y-x^2- xy-y^2+6\ z'_x=3-2x-y\ z'_y=3-x-2y\\ 3-2x-y=0\ 3-x-2y=0\\ y=-2x+3\ 3-x-2y=0\\ 3-x-2(-2x+3)=0\ 3-x+4x-6=0\ 3x=3\ x=1\\ y=-2cdot1+3\ y=-2+3\ y=1$

 

(1,1)

 

$\z''_{xx}=-2\ z''_{yy}=-2\ z''_{xy}=-1\ \detleft[begin{array}{cc}-2&-1\-1&-2end{array}right]=(-2)^2-(-1)^2=4-1=3\\ det>0 wedge z''_{xx}<0 Rightarrow f(1,1)=f_{max}(x,y)\\ f_{max}(x,y)=3cdot1+3cdot1-1^2-1cdot1-1^2+6\ f_{max}(x,y)=3+3-1-1-1+6\ f_{max}(x,y)=9$