Предмет: Алгебра, автор: yugolovin

Решить уравнение
5x\left(2+\sqrt{x^2+12x+13}+\sqrt{x^2+17x+8}\right)=
=10+6\sqrt{x^2+12x+13}+4\sqrt{x^2+17x+8}


Phlxyd: сначала подумал типикал егэ проф, но счас сижу и думаю)
Phlxyd: а откуда это задание, из какой темы, или это билет физтеха?
Phlxyd: wolfram alpha показывает что x = 1 ответ
antonovm: а теперь попробуйте без него решить , вот разность подкоренных выражений 5 x - 5 , это можно использовать

Ответы

Автор ответа: igorShap
3

Ответ:

x=1

Объяснение:

Введем замену

\sqrt{x^2+12x+13}=a,\sqrt{x^2+17x+8}=b\Rightarrow b^2-a^2=5x-5;a\geq 0;b\geq 0

Тогда, после переноса всех слагаемых в левую часть, уравнение примет вид

2(b^2-a^2)+(b^2-a^2-1)a+(b^2-a^2+1)b=0\\ 2(b^2-a^2)+(b^2-a^2)(a+b)+(b-a)=0\\ (b-a)(2(b+a)+(b+a)(a+b)+1)=0\\ (b-a)\underbrace{(\underbrace{2(b+a)}_{\geq 0}+\underbrace{(a+b)^2}_{\geq 0}+\underbrace{1}_{>0})}_{>0}=0

Значит,

b-a=0\\ a=b

Возвращаясь к исходной переменной, получим

\sqrt{x^2+12x+13}=\sqrt{x^2+17x+8}

Возведем в квадрат:

x^2+12x+13=x^2+17x+8\\ 5=5x\\ x=1

Проверка:

5(2+\sqrt{26}+\sqrt{26})=10+6\sqrt{26}+4\sqrt{26}\\ 10+10\sqrt{26}=10+10\sqrt{26} - верно.


Phlxyd: аху, это уровень 10-11ых? Я сча в 11, но до замены додумался бы только через час
antonovm: а , по - моему , вполне естественная замена , в 2018 ЕГЭ в некоторых
примерах типа 15 подобная замена очень быстро приводила к ответу
kanmmu: Молодец! Сам хотел эту замену, но сочканул( Приятно видеть красивое решение! Спасибо!
Похожие вопросы