Question

Упростить тригонометрическое выражение

Answer 1

По формуле сумма синусов  в числителе

$2sin\frac{\alpha +3\beta +\alpha -3\beta }{2} *cos\frac{(\alpha +3\beta )-(\alpha -3\beta )}{2} =2sin\alpha *cos(3\beta )$

По формуле  разность синусов в знаменателе

$2cos\frac{\alpha +3\beta +\alpha -3\beta }{2} *sin\frac{(\alpha +3\beta )-(\alpha -3\beta )}{2} =2cos\alpha *sin(3\beta )$

Получим

$\displaystyle2*\frac{2sin\alpha *cos(3\beta )}{2cos\alpha *sin3\beta )} * ctg\alpha$  = $\displaystyle2*\frac{2sin\alpha *cos(3\beta )}{2cos\alpha *sin3\beta )} * \frac{cos\alpha }{sin\alpha }$  = $\displaystyle2*\frac{cos(3\beta )}{sin(3\beta )} =2ctg(3\beta )$

$\beta =\frac{\pi }{12}$  ,   $\displaystyle 2*ctg(3*\frac{\pi }{12} )=$   $\displaystyle 2ctg\frac{\pi }{4}$  =2*1=2.