Question

Найти все пары чисел (x;y), удовлетворяющих уравнению
$\bf\\x-x\sqrt{1-4y^2}=x^2y+y$

Answer 1

Ответ:

$\left(1;\dfrac{1}{2}\right),\left(-1;-\dfrac{1}{2}\right),(a;0),a\in R$

Пошаговое объяснение:

$x(1-\sqrt{1-4y^2})=y(x^2+1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

$x=0\Rightarrow y=0$

$y=0\Rightarrow 0=0$

Значит, все пары вида $(a;0),a\in R$ являются решением.

Пусть $x\neq 0,y\neq 0$.

Тогда $(1)$ равносильно

$\dfrac{1-\sqrt{1-4y^2}}{y}=x+\dfrac{1}{x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

Рассмотрим выражение в левой части.

Область определения задается системой

$\left \{ {{1-4y^2\geq 0} \atop {y\neq 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{|y|\leq \frac{1}{2}} \atop {y\neq 0}} \right.$

Тогда допустима замена $y=\dfrac{1}{2}cost,t\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$. Выражение примет вид

$\dfrac{1-\sqrt{1-cos^2t}}{\frac{1}{2}cost}=2\cdot \dfrac{1-|sint|}{cost}=2\cdot \dfrac{1-sint}{cost}$

Заметим:

$\left|2\cdot \dfrac{1-sint}{cost}\right|=2\cdot \dfrac{(\sqrt{1-sint})^2}{\sqrt{1-sin^2t}}=2\cdot \dfrac{(\sqrt{1-sint})^2}{\sqrt{1-sint}\sqrt{1+sint}}=2\cdot \dfrac{\sqrt{1-sint}}{\sqrt{1+sint}}=2\cdot \sqrt{1-\dfrac{2sint}{1+sint}}\leq [sint\geq 0]\leq 2\cdot \sqrt{1-0}=2$

При этом равенство выполняется лишь при $sint =0$. Тогда

$cost=\pm 1\Rightarrow y=\pm\dfrac{1}{2}$.

Теперь рассмотрим выражение в правой части $(2)$.

$\left|x+\dfrac{1}{x}\right|=\left|sgn(x)\cdot |x|+sgn(x)\cdot\dfrac{1}{|x|}\right|=\left|sgn(x)\cdot \left(|x|+\dfrac{1}{|x|}\right)\right|=\\ =|x|+\dfrac{1}{|x|}\geq 2\sqrt{|x|\cdot \dfrac{1}{|x|}}=2$

При этом равенство выполнено лишь при $|x|=1\Rightarrow x=\pm 1$.

То есть левая часть по модулю не больше 2, а правая - не меньше 2. Значит, если в рассматриваемой области и существуют решения, то будет выполнено по одному из условий из каждой пары $y=\pm\dfrac{1}{2}$ и $x=\pm 1$.

1) $y=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{\frac{1}{2}}=x+\dfrac{1}{x}\Rightarrow x+\dfrac{1}{x}=2\Rightarrow x=1$ - подходит.

2) $y=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{-\frac{1}{2}}=x+\dfrac{1}{x}\Rightarrow x+\dfrac{1}{x}=-2\Rightarrow x=-1$ - подходит.

Answer 2

Ответ:

(-1; -0.5); (1; 0.5); (x; 0), где х любое число

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle\\x-x\sqrt{1-4y^2}=x^2y+y\\\\x^2y-x+x\sqrt{1-4y^2}+y=0\\\\yx^2-(1- \sqrt{1-4y^2})x+y=0$

ограничение $1-4y^2\geq 0;4y^2\leq 1;y^2\leq \dfrac{1}{4};y\in\Big[-\dfrac{1}{2} ;+\dfrac{1}{2} \Big]$

1) если y = 0, то равенство выполняется для любых х

0 · x² - (1 - √(1 - 4 · 0))x + 0 = 0;   0 - 0 + 0 = 0   верно

2) если  y ≠ 0, то можем рассмотреть уравнение как квадратное

относительно неизвестной х

необходимо, чтобы дискриминант был ≥0

$\displaystyle\\ D=b^2-4ac\\D=\Big(1-\sqrt{1-4y^2} \Big)^2-4y^2=1-2\sqrt{1-4y^2}+1-4y^2-4y^2=\\\\=2-8y^2-2\sqrt{1-4y^2}=2(1-4y^2)-2\sqrt{1-4y^2}=\\\\=2\sqrt{1-4y^2}\Big(\sqrt{1-4y^2}-1\Big)\geq 0$

при y ≠ 0    $1-4y^2<1; \sqrt{1-4y^2}<1;\Big(\sqrt{1-4y^2}-1\Big)<0$

чтобы неравенство выполнялось, необходимо,

чтобы $\sqrt{1-4y^2} \leq 0$

но по определению арифметического квадратного корня

$\sqrt{1-4y^2} \geq 0$

⇒ возможно только $\sqrt{1-4y^2} = 0;1=4y^2;y=\pm\dfrac{1}{2}$

подставим в уравнение , получим соответственно значения $x=\pm1$

Ответ: (-1; -0.5); (1; 0.5); (x; 0), где х любое число