Знайдіть всі такі двозначні числа, у яких сума квадратів цифр на 97 менше подвоєного
числа.
Ответы
Ответ:
81.
Объяснение:
Пусть в данном двузначном числе цифра в разряде десятков равна а, а в разряде единиц - b, тогда данное двузначное число равно 10а+b.
По условию
2(10а+b) - (а²+b²) = 97
а ≠ 0
Если a = 1, то
1+b² = 2(10+b) - 97
b² + 1 - 20 - 2b + 97 = 0
b² - 2b + 78 = 0
D < 0, корней нет
Если a = 2, то
4+b² = 2(20+b) - 97
b² - 2b + 4 - 40 + 97 = 0
b² - 2b + 61 = 0
D < 0, корней нет.
Если a = 3, то
9+b² = 2(30+b) - 97
b² - 2b + 9 - 60 + 97 = 0
b² - 2b + 46 = 0
D < 0, корней нет.
Если a = 4, то
16+b² = 2(40+b) - 97
b² - 2b + 16 - 80 + 97 = 0
b² - 2b + 33 = 0
D < 0, корней нет.
Если a = 5, то
25+b² = 2(50+b) - 97
b² - 2b + 25 - 100 + 97 = 0
b² - 2b + 22 = 0
D < 0, корней нет.
Если a = 6, то
36+b² = 2(60+b) - 97
b² - 2b + 36 - 120 + 97 = 0
b² - 2b + 13 = 0
D < 0, корней нет.
Если a = 7, то
49+b² = 2(70+b) - 97
b² - 2b + 49 - 140 + 97 = 0
b² - 2b + 6 = 0
D < 0, корней нет.
Если a = 8, то
64+b² = 2(80+b) - 97
b² - 2b + 64 - 160 + 97 = 0
b² - 2b + 1 = 0
(b - 1)² = 0
b - 1 = 0
b = 1
Данное число равно 8•10 + 1 = 81.
Если a = 9, то
81+b² = 2(90+b) - 97
b² - 2b + 81 - 180 + 97 = 0
b² - 2b - 2 = 0
D = 12, натуральных корней нет. корней нет.
Второй способ:
По условию
2(10а+b) - (а²+b²) = 97
97 - 2(10а+b) + (а²+b²) = 0
b² - 2b + (a² - 20a + 97) = 0
Уравнение относительно переменной b имеет корни, если D ≥ 0.
D = 4 - 4(a² - 20a + 97) = - 4a² + 80a - 384
- 4a² + 80a - 384 ≥ 0
a² - 20a + 96 ≤ 0
(a - 8)(a - 12) ≤ 0
__+__[8]___-___[12]___+____
В отрезке [8;12] лежат только две возможных цифры а: 8 и 9.
Убедимся в том, что и соответствующие значения b будут натуральными.
Если а = 8, то
b² - 2b + (64 - 160 + 97) = 0
(b - 1)² = 0
b - 1 = 0
b = 1
Данное число равно 8•10 + 1 = 81.
Если а = 9, то
b² - 2b + (81 - 180 + 97) = 0
b² - 2b - 2 = 0
D = 12, натуральных корней нет.
Ответ: 81 единственное число, удовлетворяющее условию