Question

Обчислить $cos^{2} \frac{\pi }{12} -sin^{4} \frac{\pi }{12}$

Answer 1

Формулы:

$\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}{2}$

$\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}{2}$

Получим:

$\cos^2 \dfrac{\pi }{12} -\sin^4 \dfrac{\pi }{12}=\cos^2 \dfrac{\pi }{12} -\left(\sin^2 \dfrac{\pi }{12}\right)^2=$

$=\dfrac{1+\cos\left(2\cdot\dfrac{\pi }{12} \right)}{2} -\left(\dfrac{1-\cos\left(2\cdot\dfrac{\pi }{12} \right)}{2}\right)^2=\dfrac{1+\cos\dfrac{\pi }{6}}{2} -\left(\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi }{6}}{2}\right)^2=$

$=\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3} }{2}}{2} -\left(\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3} }{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2+\sqrt{3} }{4} -\left(\dfrac{2-\sqrt{3} }{4}\right)^2=$

$=\dfrac{8+4\sqrt{3} }{16} -\dfrac{4-4\sqrt{3}+3 }{16}=\dfrac{8+4\sqrt{3} }{16} -\dfrac{7-4\sqrt{3} }{16}=$

$=\dfrac{8+4\sqrt{3} -7+4\sqrt{3} }{16}=\boxed{\dfrac{8\sqrt{3} +1 }{16}}$