Предмет: Геометрия, автор: vityamath

задача про тетраэдр(док-во)
как можно подробнее

Приложения:

cos20093: вот блин, я точно знаю, где искать решение - есть всего 4 нормальных вектора, шесть попарных скалярных произведений, и все симметрично относительно перестановок (из за равногранности). Но вот не складывается в решение и все :(((.
cos20093: ой, 4 вектора не могут быть независимыми :( ай-ай, туплю :)
Simba2017: мы подождем вашего полного ответа, если не возражаете)
cos20093: Спасибо, конечно, за ожидания, но не надо! Я не буду выкладывать. может быть напишу в комментарии.
cos20093: Как вы наверно уже могли убедиться - я борюсь больше со своими тараканами, чем с чужими :)
Simba2017: понятно, успехов в этой борьбе)

Ответы

Автор ответа: cos20093
3

Жирным шрифтом обозначены вектора, скалярные величины обозначены обычными шрифтом.

Пусть есть три некомпланарных вектора a b c, являющиеся "боковыми" ребрами тетраэдра из условия задачи (в том смысле, что все три имеют общее начало в вершине).

Попарные векторные произведения этих векторов дают векторы, перпендикулярные граням. Поскольку все грани равны, то эти векторные произведения имеют одинаковую абсолютную величину - удвоенную площадь грани. Приняв эту удвоенную площадь грани за единицу измерения площади (это никак не ограничивает общность), можно считать нормальные вектора cxb = n₁; bxa = n₂; axc = n₃; единичными векторами.

Я выбрал порядок в произведениях векторов так, чтобы они "торчали" наружу пирамиды. Уже сейчас стоит обратить внимание, что в этом случае двугранные углы при ребрах составляют 180° в сумме с углами между так выбранными нормалями. Поэтому косинусы углов будут равны по величине, но противоположного знака.

Осталась еще четвертая грань. её ребрам соответствуют вектора a₁ = b - c; b₁ = c - a ; c₁ = a - b; причем длины векторов a₁ = a; b₁ = b; c₁ = c; так как четвертая грань равна трем "боковым". Если теперь построить нормальный вектор аналогично трем предыдущим (то есть так, чтобы он смотрел наружу тетраэдра), то

n₄ = - (с - a)x(b - c) = - bxa - cxb - axc = -(n₁ + n₂ + n₃);

или n₁ + n₂ + n₃ + n₄ = 0; (что само по себе - абсолютно замечательный результат).

пусть Σ = nn₂ + nn₃ + nn₄ + nn₃ + nn₄ + nn₄; сумма всех скалярных произведений между нормалями. Для того, чтобы доказать утверждение в задаче, нужно показать, что Σ = - 2; (каждое из произведений равно "минус косинус" угла при ребре между парами граней, заданных нормалями; я напомню, что все нормальные вектора - единичные, то есть равны 1 по модулю)

Я слегка переписываю это выражение Σ  = nn₂ + nn₃ + nn₃ + (n₁ + n₂ + n₃)n₄ = nn₂ + nn₃ + nn₃ - nn₄ = nn₂ + nn₃ + nn₃ - 1;

Однако все грани тетраэдра равноценны, и аналогично можно записать

Σ  = nn₃ + nn₄ + nn₄ - 1;

Σ  = nn₄ + nn₁ + nn₁ - 1;

Σ  = nn₂ + nn₄ + nn₄ - 1;

Если сложить все четыре равенства, то получится

4Σ  = 2(nn₂ + nn₃ + nn₄ + nn₃ + nn₄ + nn₄) - 4;

4Σ = 2Σ - 4; Σ = -2 чтд. :)


cos20093: этот трюк производит впечатление откровенного жульничества :)))
vityamath: спасибо, как 10 класснику додуматься до этого :)
cos20093: Там стоит уровень 5 - 9 классы :((( ну простите меня. Мне так понравился прием с нормальными векторами. Нормальный вектор - это вектор, перпендикулярный плоскости. Скалярное произведение равно произведению длин на косинус угла между векторами, это настоящий скаляр, и не зависит от порядка сомножителей.
cos20093: Векторное произведение - это довольно сложная конструкция, к тому же это не совсем настоящий вектор. Ну, почти настоящий :) Векторное произведение равно по модулю площади параллелограмма, построенного на векторах, то есть произведению длин на синус угла между сомножителями. Направление определяется правилось правой руки, поищите картинки про это. Векторное произведение меняет знак при перестановке сомножителей.
vityamath: спасибо огромное)))
cos20093: В решении не понадобилось что-то сложное из алгебры векторов. Хотя я вначале пытался в лоб посчитать косинус угла через скалярное произведение двух векторных произведений, что сделать далеко не просто, это уже вообще не школьный уровень, пожалуй. Но это все не понадобилось. В решении скалярные произведения отмечены просто, как n₂n₃, а векторные как cxb.
vityamath: учебник по геометрии 10 класс(углубленный)
vityamath: а можно решить без векторов?
antonovm: Можно чуть упростить : просто возвести в квадрат сумму ( n1 + n2 + n3+ n4) ^ 2 = 0 , а с другой стороны ( n1 + n2 + n3+ n4) ^ 2 = 4 - 2S , где S - сумма косинусов , 4 - 2S = 0
Похожие вопросы
Предмет: Окружающий мир, автор: амалия301