Предмет: Алгебра, автор: kamilmatematik100504

Решите!!!!!!!!!!!!!!!!

Приложения:

Ответы

Автор ответа: igorShap
4

Ответ:

7

Объяснение:

Найдем вспомогательную сумму S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{k}{2^k}.

\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{n}{2^n}}=\dfrac{1}{2}<1, а значит ряд сходится, и S конечна.

Заметим:

S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{k}{2^k}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{k-1}{2^{k-1}}+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^k}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{m=0}^\infty \dfrac{m}{2^{m}}+\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\underbrace{\sum\limits_{m=1}^\infty \dfrac{m}{2^{m}}}_{S}+1=\dfrac{S}{2}+1\\ S=\dfrac{S}{2}+1\Rightarrow 2S=S+2\Rightarrow S=2

Вернемся к исходному условию:

\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k+3}{2^k}=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k}{2^k}+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{3}{2^k}=2\underbrace{\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{k}{2^k}}_{S=2}+3\underbrace{\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^k}}_{1}=2\cdot 2+3\cdot 1=7

__________________________

Если применять идею сразу:

Пусть S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k+3}{2^k}.

\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{2n+3}{2^n}}=\dfrac{1}{2}<1 , а значит ряд сходится, и S конечна.

Заметим:

S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k+3}{2^k}=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k+1}{2^k}+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2}{2^k}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2(k-1)+3}{2^{k-1}}+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^{k-1}}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{m=0}^\infty \dfrac{2m+3}{2^m}+\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{1}{2}\underbrace{\sum\limits_{m=1}^\infty \dfrac{2m+3}{2^m}}_S+3\dfrac{1}{2}\\ S=\dfrac{S}{2}+3\dfrac{1}{2}\Rightarrow S=7


igorShap: Кстати говоря, идею нахождения вспомогательной суммы можно было применить и сразу к исходному ряду, расписав его член как 1/2 * (2(k-1)+3)/2^(k-1)+1/2^(k-1)
igorShap: Добавил этот вариант
mathgenius: Ну это бородатая задачка) Уже на так интересно
mathgenius: Это как я называю: арифметико-геометрическая прогрессия. Можно вывести не только для арифметической прогрессии в числителе, можно для последовательности квадратов, кубов и n- степеней в числителе
Похожие вопросы
Предмет: Алгебра, автор: FinnWolfhard1